私人幼儿园无故辞退老师需支付补偿。依据《劳动合同法》，幼儿园无故辞退应支付二倍经济补偿，按工作年限计算，每满一年两个月工资，不满一年按一年计，不满半年支付一月工资。不及时处理可能导致法律纠纷及额外赔偿。
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私人幼儿园辞退老师补偿方式多样。常见有协商、调解、仲裁、诉讼。优先协商，协商不成可申请调解，调解无果则提起劳动仲裁，仲裁不服再诉讼。
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私人幼儿园辞退需补偿。操作如下：1. 与园方协商，要求按法律规定支付补偿；2. 协商不成，向劳动部门申请调解；3. 调解无果，准备证据提起劳动仲裁；4. 仲裁不服，依法向法院提起诉讼，维护权益。